1LOVESOSHI

1LOVESOSHI

CONTOH SOAL : SUBGRUP NORMAL

SUBGRUP NORMAL

Definisi:

Subgrup N dari grup G disebut subgrup normal dari G, jika untuk setiap x Î G dan untuk setiap n Î N berlaku: x.n.x-1
Î N.

Teorema-teorema:

  • Subgrup N dari grup G adalah normal jika dan hanya jika x.N.x-1 = N untuk setiap x Î G.
  • Subgrup N dari grup G adalah normal jika dan hanya jika setiap koset kiri N dalam G juga merupakan koset kanan N dalam G.
  • Irisan 2 subgrup normal dari suatu grup adalah juga subgrup normal.

Buktikanlah.

Contoh:


  • Dalam setiap grup G, subgrup trivial {e} dan G sendiri merupakan subgrup normal. Periksalah.
  • Grup matriks 2×2 bilangan riil dengan determinan = 1, dengan operasi perkalian matriks adalah subgrup normal dari grup matriks 2×2 bilangan riil dengan determinan tak nol, dengan operasi perkalian matriks. Periksalah.
  • Ambil G=grup non-abelian matriks 2×2 non-singular bilangan riil dengan operasi perkalian matriks. Ambil D = himpunan matriks diagonal 2×2 non-singular bilangan riil dengan operasi perkalian matriks (D adalah subgrup dari G). Tunjukkan bahwa D bukan subgrup normal.
  • G=grup matriks non-singular 2×2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks. M=himpunan matriks skalar non-singular 2×2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks (M adalah subgrup dari G). M adalah subgrup normal dari G.

  • Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal.

Contoh:

  • Jika M dan N adalah dua subgrup normal dari G sedemikian sehingga MÇN={e}, maka setiap elemen M komutatif dengan setiap elemen N. Tunjukkan.

GRUP KUOSIEN (GRUP FAKTOR)

GRUP KUOSIEN/GRUP FAKTOR

Definisi:

  • Jika G grup dan N subgrup normal dari G, maka himpunan G/N (semua koset kanan/kiri N dalam G) adalah grup terhadap “perkalian” koset (periksalah). Grup ini disebut grup kuosien atau grup faktor G oleh N.
  • G/N adalah himpunan semua koset kanan N dalam G.
  • Banyaknya koset kanan N dalam G disebut indeks N dalam G, atau iG(N)=[G:N] = .

Teorema-teorema:

  • Himpunan semua koset dari subgrup normal adalah grup terhadap “perkalian kompleks”.
  • Jika G grup berhingga dan N subgrup normal dari G, maka n(G/N)= .

Contoh-contoh:

G = {a, a2, a3, a4=1}. H = {1,a2}. H adalah subgrup dari G (buktikan). Koset-koset kanan H dalam G adalah:

H.1 = {1, a2} = H

H.a = {a, a3}

G/H dibentuk oleh H.1=H dan H.a. G/H = {H, H.a}

*

H

H.a

H

H

H.a

H.a

H.a

H

  • {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}. 4Z = {….,-12,-8,-4,0,4,8,12,…}. Maka Z/4Z dibentuk oleh koset-koset kiri 4Z dalam Z dan Z/4Z disebut grup faktor. Perhatikan:

    0+4Z = 4Z = {…,-12,-8,-4,0,4,8,12,…}

    1+4Z = {….,-11,-7,-3,1,5,9,13,…}

    2+4Z = {….,-10,-6,-2,2,6,10,14,…}

    3+4Z = {….,-9,-5,-1, 3,7,11,15,…}

    Z/4Z = {0+4Z, 1+4Z, 2+4Z, 3+4Z}

*

0+4Z

1+4Z

2+4Z

3+4Z

0+4Z

0+4Z

1+4Z

2+4Z

3+4Z

1+4Z

1+4Z

2+4Z

3+4Z

0+4Z

2+4Z

2+4Z

3+4Z

0+4Z

1+4Z

3+4Z

3+4Z

0+4Z

1+4Z

2+4Z

  • G={0,1,2,3,4,5,6,7} dengan operasi penjumlahan modulo 8 merupakan grup komutatif. H={0,2,4,6} adalah subgrup komutatif dari G (buktikan). G/H dibentuk oleh:

    H+0={0,2,4,6} dan H+1 = {1,3,5,7}. G/H={H, H+1}

*

H

H+1

H

H

H+1

H+1

H+1

H

  • G={a,a2,a3,…,a11,a12=e} adalah grup siklis. N={e,a3,a6,a9} adalah subgrup normal dari G (periksalah). Perhatikan bahwa: n(G/N)= . Elemen-elemen G/N adalah: N=N.e={e,a3,a6,a9}, N.a={a,a4,a7,a10}, N.a2= {a2,a5,a8,a11}, sehingga G/N = {N, N.a, N.a2}.

*

N

N.a

N.a2

N

N

N.a

N.a2

N.a

N.a

N.a2

N

N.a2

N.a2

N

N.a


About these ads

Single Post Navigation

One thought on “CONTOH SOAL : SUBGRUP NORMAL

  1. Ping-balik: Subgrup Normal dan Grup Kousien « Gamatika Zone

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: